Derivada de un escalar respecto de un vector

Sea \(x\) un vector de n variables \(x = [x_1 \ x_2 \ \cdots \ x_n]^T \in \mathbb{R}^{n \times 1}\), y sea la función real de las n variables \(y(x_1, x_2, \cdots, x_n) \in \mathbb{R}\). Se define la siguiente derivada:

\[\begin{equation} \frac{d y}{d x} = \begin{bmatrix} \frac{d y}{d x_1} \\ \frac{d y}{d x_2} \\ \cdots \\ \frac{d y}{d x_n} \end{bmatrix} \end{equation}\]

Se pueden demostrar las siguientes propiedades:

\[\begin{equation} \frac{d(a^T x)}{d x} = \frac{d(x^T a)}{d x} = a \end{equation}\]

\[\begin{equation} \frac{d(x^T A x)}{d x} = (A + A^T)x \end{equation}\]

donde \(a \in \mathbb{R}^{n \times 1}\) es un vector de números reales y \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) es una matriz de números reales.

Vamos a demostrar brevemente la primera igualdad:

\[ a = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_n \end{bmatrix}, x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \cdots \\ x_n \end{bmatrix} \Rightarrow y = a^T x = a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n \]

\[ \frac{d y}{d x} = \begin{bmatrix} \frac{d y}{d x_1} \\ \frac{d y}{d x_2} \\ \cdots \\ \frac{d y}{d x_n} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \cdots \\ a_n \end{bmatrix} = a \]

La demostración del resto de igualdades es similar.