Sea \(X \sim N(\mu,\sigma)\) y \(a,b \in \mathbb{R}\). Se cumple que:
\[ Y = aX + b \Rightarrow Y \sim N(a\mu+b, a\sigma) \]
En esta propiedad hay tres resultados importantes:
Sean \(X \sim N(\mu_x,\sigma_x)\), \(Y \sim N(\mu_y,\sigma_y)\) y \(a,b,c \in \mathbb{R}\). Se cumple que:
\[ Y = aX + bY + c \Rightarrow Y \sim N(a\mu_x+b\mu_y+c, \sqrt{a^2\sigma_x^2+b^2\sigma_y^2}) \]
Sean n variables aleatorias normales \(X_i\) con \(E[X_i] = \mu_{i}\) y \(Cov[X_i,X_j] = \sigma^2_{ij}\). Se definen los siguientes vectores y matrices:
\[ X = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \cdots \\ X_n \end{bmatrix} , \quad E[X] = \begin{bmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \cdots \\ \mu_n \end{bmatrix} , \quad Var[X] = \begin{bmatrix} \sigma^2_{11} & \sigma^2_{12} & \cdots & \sigma^2_{1n} \\ \sigma^2_{21} & \sigma^2_{22} & \cdots & \sigma^2_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ \sigma^2_{n1} & \sigma^2_{n2} & \cdots & \sigma^2_{nn} \\ \end{bmatrix} \]
Sean m variables aleatorias \(Y_i\) definidas de la siguiente manera:
\[ \begin{bmatrix} Y_1 \\ Y_2 \\ \cdots \\ Y_m \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \cdots \\ X_n \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ \cdots \\ b_n \end{bmatrix} \Rightarrow Y = AX + b \]
Entonces se cumple que: